Logaritma Nedir?

{h1}

Bir logaritma, başka bir numaraya ulaşmak için belirli bir sayının kaç defa tek başına çarpılması gerektiğini belirler.

Bir logaritma, baz olarak adlandırılan belirli bir sayının, başka bir sayıya ulaşmak için kendi başına ne kadar çarpılacağını belirleyen matematiksel bir işlemdir. Logaritmalar, geometrik ilerlemeleri aritmetik ilerlemelerle ilişkilendirdiğinden, gitar perdeleri, mineral sertliği ve seslerin, yıldızların, rüzgar fırtınalarının, depremlerin ve asitlerin yoğunlukları gibi doğa ve sanat boyunca örnekler bulunur. Logaritmalar, insanların içgüdüsel olarak sayıları nasıl düşündüklerini açıklar.

Logaritmalar 17. yüzyılda İskoç matematikçi John Napier (1550'den 1617'ye) tarafından hesaplanan bir hesaplama aracı olarak icat edildi.logolar) ve sayı (arithmos). Mekanik (ve daha sonra elektronik) hesap makinelerinin icat edilmesinden önce, logaritmalar astronomi, navigasyon, araştırma ve daha sonra mühendislikte bulunan hesaplamaları basitleştirmek için son derece önemlidir.

Bir örnek: katlama kağıt

Logaritmalar, 64 katmanı elde etmek için bir kat kağıdınızı katlamanın kaç kez gerektiğini belirtir. Kağıdı ikiye katladığınızda, katman sayısı iki katına çıkar. Matematiksel olarak, 2 (taban), kendi başına belirli bir sayıda ile çarpılan 64'dür. Kaç çarpma gerekli? Bu soru şöyle yazılmıştır:

kütük2(64) = x

Bir logaritma, bir üstelin tersi olarak düşünülebilir, bu yüzden yukarıdaki denklem, şu anlama gelir:

2x = 64

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64, 2 olduğu için6 = 64. Bu, bir kağıt parçasını altı defa katlarsak 64 katmanı olacaktır. Sonuç olarak, 64 taban-2 logaritması 6, yani log2(64) = 6.

Başka bir örnek: moleküllerin ölçülmesi

1 mililitre sıvı aldığınızda, 99 ml su ekleyin, solüsyonu karıştırın ve 1 ml'lik bir örnek alın, orijinal sıvının her 100 molekülünden 99'u su molekülleriyle değiştirilir, Orijinal sıvıdan moleküller kaldı. Bazen bu, yüzlerce Roma rakamından "C seyreltme" olarak adlandırılır. 1 ml saf alkolün kabaca 10 olduğunu anlamak22 (bir tane 22 sıfırın ardından) moleküller, ne kadar C dilüsyonları tüm bir molekül su ile değiştirilir? Matematiksel olarak, 1/100 (taban) kendi başına belirli sayıda katlanarak 1/1022Yani kaç tane çoğaltma gerekli? Bu soru şöyle yazılmıştır:

kütük1/100(1/1022) = 11

Böylece, 11 C seyreltmeden sonra, sadece orijinal alkolün kalan tek bir molekülü olacaktır. (Bu, homeopatide yaygın olan 30 C dilüsyonun yarısından daha azdır, bu da uygulamanın modern kimya ile niçin uzlaşmaz olduğunu gösterir.)

Bilimsel hesap makinesinde logaritmalar

Çoğu bilimsel hesap makinesi, sadece 10 logaritmasını hesaplar, genel logaritma ve taban için log (x) olarak yazılır. edoğal logaritma için ln (x) olarak yazılmıştır (l ve n harflerinin geriye doğru olmasının nedeni tarihin kaybolmasıdır). Numara eYaklaşık 2.71828'e eşit olan, sonsuza uzanan yinelenen ondalık olmayan bir dizi ile irrasyonel bir sayıdır (pi gibi). Logaritma ve kalkülüsün gelişmesinden doğal olarak ortaya çıkan, hem bir yüzyıl sonra konuya ilerleyen bir İsviçreli matematikçi olan Leonhard Euler'den (1707-1783) sonra hem Napier'in Constant ve Euler Numarası olarak bilinir.

10'dan başka bir tabanda logaritma yapmak veya eLogaritmalara özgü bir özellik kullanıyoruz. Yukarıdaki ilk örneğimizden, günlük2(64) bir hesap makinesine "log (64) / log (2)" veya "ln (64) / ln (2)" olarak girilebilir; ya da 6 istenilen cevap verecektir. Aynı şekilde, günlük1/100(1/1022) eşittir "günlüğü (1/10"22) / günlük (1/100) "ve" ln (1/10)22) / ln (1/100) "yanıtı 11.

Bilimde logaritmik ölçekler

Logaritmalar çarpımsal değişimleri artan değişiklikler ile ilişkilendirdiği için, şaşırtıcı sayıda bilimsel ve gündelik fenomenlerde logaritmik ölçekler ortaya çıkar. Örneğin ses şiddetini alın: Bir konuşmacının sesini 10 desibel (dB) arttırmak için, gücün 10 katını sağlamanız gerekir. Aynı şekilde, +20 dB gücün 100 katını gerektirir ve +30 dB, 1.000 kez gerektirir. Desibellerin "aritmetik olarak ilerledikleri" veya "logaritmik bir ölçekte değişiklik gösterdikleri" söylenir, çünkü diğer ölçümlerin logaritması ile orantısal olarak değişirler; bu durumda "geometrik olarak ilerleyen" veya "doğrusal bir ölçekte değişebilen" ses dalgasının gücü.

Doğrusal ölçek

Logaritmik ölçek

Ses yoğunluğu

Güç [× 10]

Desibel (dB) [+10]

Not perde

Frekans [× 2]

Not [+12 yarım adım]

Yıldız parlaklığı

Birim alan başına güç [× 100]

Büyüklük [-5]

Deprem şiddeti

Enerji [× 1000]

Richter Ölçeği [+2]

Rüzgar yoğunluğu

Rüzgar hızı [× 1.5]

Beaufort Ölçeği [+1]

Mineral sertlik

Mutlak sertlik [× 3 (yaklaşık)]

Mohs Ölçeği [+1]

Asitlik / bazlık

H konsantrasyonu+iyonlar [× 10]

pH [-1]

Tablo, çeşitli doğrusal ve logaritmik sistemlerle ilgili sayıların büyük ölçüde değiştiğini göstermektedir. Bunun nedeni, bir logaritmik ölçeğin, genellikle, bu karakterizasyonun ardındaki ölçülebilir olgular hakkında derin bir anlayışa sahip olmayan bir karakterizasyon tekniği olarak icat edilmesidir. İyi bir örnek, ikinci yüzyıl B.C. Hipparchus tarafından tanıtılan yıldız parlaklığıdır. Yunan astronomu. Gece gökyüzündeki en parlak yıldızların ilk büyüklükte olduğu (m = 1), en hafif ise altıncı büyüklüğün (m = 6) olduğu söylenir.İngiliz astronom Norman Robert Pogson, 19. yüzyılda A.D.'de, büyüklüğün, bir dedektöre çarpan yıldız ışığının miktarının logaritması olduğunu keşfetti.

Diğer çoğu logaritmik ölçeklerin benzer bir hikayesi vardır. Bu logaritmik ölçekler genellikle ilk önce gelir, bir anlamda sezgisel olduklarını gösterir. Bu sadece algımızla ilgili değil, aynı zamanda içgüdüsel olarak sayıları nasıl düşündüğümüzle de ilgilidir.

Doğrusal öğretilir; Logaritmik içgüdüseldir

Logaritmik ölçekler, çoğu (çoğu olmasa bile) matematik öğrencisine zahmetli olsa da, garip bir şekilde, bebekler gibi tüm sayıları içgüdüsel olarak nasıl düşündüğümüzle ilgili çok şeyleri vardır. Collège de France'da profesör ve sayısal biliş üzerine uzman Stanislas Dehaene, bilgisayar ekranındaki değişiklikleri nasıl algıladıklarını görmek için iki veya üç aylık bebeklerde beyin aktivitesini kaydetmiştir. Sekiz ördekten 16 ördeke yapılan bir değişim, parietal lobda aktiviteye neden olmuş, bu da yeni doğanların sayı sezgisine sahip olduğunu göstermektedir. Bir bebeğin cevabı, sayıların birbirine yakınlaştıkça daha küçüktür, ancak ilginç olan, bir bebeğin "yakınlığı" nasıl algıladığıdır. Örneğin, sekiz ve dokuz, bir ve ikiden çok birbirlerine daha yakın algılanır. Dehaene'ye göre, "sayıların logaritmasını önemsiyorlar." Temel olarak, bebekler farklılıkları düşünmez, oranlar hakkında düşünürler.

Amazon'a özgü insanlarla yapılan araştırmalar, "beşi ötesinde rakam kelimeleri yok ve bu sayıları hatırlamıyorlar", insanların içgüdülerine bırakıldıklarında bu şekilde düşünmeye devam edeceklerini gösteriyor. Biri solda bir, sağdaki dokuzda ise "Ortada ne var?" Diye sorulursa, siz ve ben beş nesneyi seçeceğiz, ama ortalama Amazoncu üçünü seçecektir. Oranlar ve logaritmik ölçekler (farklılıklar ve doğrusal ölçekler yerine) açısından düşünürken, bir kere üçü üç, üçü üçü dokuz, yani üçü bir ile dokuzun ortasındadır.

Logaritmaların gelişimi için tarihsel motivasyon

John Napier'in 1614 çalışması, "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio" (Logaritmaların Muhteşem Canonunun Açıklaması), logaritmalarla ilgili 90 sayfalık sayısal tablo içeriyordu. Bunlar, hesaplamaların basitleştirilmesi için özellikle faydalıdır. Aşağıdaki örnekte, logaritmaların kullanıldığı bir yöntem çarpmaktan ziyade eklemenin daha kolay olmasından yararlanmaktadır. Aşağıdaki örnek gerçekten daha basit değildir, ancak logaritmik tabloları kullanma işlemini gösterir.

37 × 59

Napier'in masalarının bir versiyonundan, bu sayıların her biri aşağıdaki gibi yazılabilir:

101.5682 × 101.7709

Üstelik aşağıdaki adımı sağlayan yararlı bir özellik var:

101.5682 + 1.7709

Hangi yaprakları:

103.3391

Başka bir tablodan, nihai cevap belirlenir:

2,183

Slayt kuralları

Eklemeye benzer çoğaltma yapma özelliği, başka bir antika hesaplama tekniği sağlar: sürgülü hesap cetveli. Gösterildiği gibi numaralar eklemek için iki normal (doğrusal) cetvel kullanılabilir:

Eklemeyi yapmak için doğrusal cetveller kullanılabilir. Burada 2 + 3 = 5 olduğu gösterilmiştir.

Eklemeyi yapmak için doğrusal cetveller kullanılabilir. Burada 2 + 3 = 5 olduğu gösterilmiştir.

Kredi: Robert J. Coolman

Yukarıda gösterilen prosedüre benzer şekilde, logaritmik ölçekler ile basıldığında iki cetvel çoğaltmak için kullanılabilir.

Logaritmik cetveller çoğaltma yapmak için kullanılabilir. Burada 2 × 8 = 16 gösterilmiştir.

Logaritmik cetveller çoğaltma yapmak için kullanılabilir. Burada 2 × 8 = 16 gösterilmiştir.

Kredi: Robert J. Coolman

Bu işaretler aynı zamanda gitarın veya ukulele'nin parmaklıklarındaki perdelerin boşluklarıyla da eşleşir. Müzik notaları logaritmik bir ölçeğe göre değişir, çünkü giderek artan şekilde daha yüksek oktavlar (müzik ölçeğinin sonu) insan kulağı tarafından eşit aralıklarla (hatta multip ile çarpılarak) tekrar tekrar kesilerek üretilmelerine rağmen eşit aralıklarla algılanır. Boyun ve bir gitar dizesinin orta noktası arasında, 12 logaritmik aralıklı perde olacaktır.

Ek kaynaklar

  • Doğa: Neden logaritmaları sevmeliyiz
  • Radyo Laboratuvarı: Doğuştan Sayılar
  • Numberphile: Günlük Tabloları (YouTube)
  • Matematik Eğlenceli: Logaritmalara Giriş
  • Khan Academy: Logaritma Eğitimi


Video Takviyesi: 10dk da LOGARİTMA 1 - Tonguc Akademi.




TR.WordsSideKick.com
Her Hakkı Saklıdır!
Herhangi Bir Malzemenin Çoğaltılabilir Sadece Siteye Aktif Linki Prostanovkoy TR.WordsSideKick.com

© 2005–2019 TR.WordsSideKick.com