Topoloji Nedir?

{h1}

Topoloji, matematiksel alanları, özellikle bir alanın şeklinden kaynaklanan özellikleri açıklayan bir matematik dalıdır.

Topoloji, matematiksel alanları, özellikle bir alanın şeklinden kaynaklanan özellikleri açıklayan bir matematik dalıdır. Topologların uğraştığı şekillerin çoğu inanılmaz derecede tuhaftır; öyle ki, pratik olarak kase, evcil hayvan ve ağaç gibi tüm günlük nesneler küçük bir azınlık oluşturur. "Topoloji" kelimesi yer için Yunanca sözcüklerden türemiştir (topos) ve çalışma (-logy).

Topoloji, çeşitli çalışma alanlarında bir rehber olarak önemlidir:

  • Teorik fizik (özellikle kuantum alan teorisi ve dizi teorisi gibi kuantum mekaniğinin ardılları)
  • Kozmoloji (evrenin şeklini belirlemek için)
  • Biyoloji (DNA'nın karıştırılması ve organların ve diğer vücut parçalarının büyümesini öngörmek için)
  • Bilgisayar bilimi (veri kümelerinin büyük ölçekli yapısını belirlemek için)
  • Robotik (bir robot kolunun hareketlerinin, kol eklemlerinin sayısına eşit bir dizi boyutta bir alanın şekline göre planlandığı)

Sürekli deformasyon

Bir topoloji uzmanı, şekillerin özelliklerine, özellikle bir şekilden sonra korunan özelliklerin bükülmesine, gerilmesine veya deforme olmasına neden olur. İzin verilen değişikliklerin listesi, matematiksel bir fikrin altında sürekli deformasyonkabaca "germe, ancak yırtılma veya birleştirme" anlamına gelir. Örneğin, bir daire bir elipsin içine veya bir el baskısının taslağı gibi karmaşık bir şeye çekilebilir ve gerilebilir. Yırtılma ve birleştirme, bilinenler olarak bilinir süreksizliklerbu yüzden izin verilmiyor.

Aynı şekle uzatılabilen iki nesne şöyle tanımlanır: homeomorphicLatince Yunan'dan "benzer" (benzer) ve Yunanca "biçim, şekil veya figür" (morphe). Bu mercek sayesinde, hemen hemen bütün günlük nesneler bir küre (bir top) veya bir çeşit torus (bir çörek) ile homeomorfiktir.

Neredeyse tüm günlük nesneler, sürekli deformasyona maruz kaldıklarında, sadece birkaç topolojik şekle indirgenir.

Neredeyse tüm günlük nesneler, sürekli deformasyona maruz kaldıklarında, sadece birkaç topolojik şekle indirgenir.

Kredi: Robert J. Coolman

Topolojinin bazı dalları, bir nesnenin gerilirken kendi içinden geçmesine izin verir; diğerleri yok. Bir yüzey göz önüne alındığında kutu Kendinden geçmek, sürekliliği arttırdığı için, bir yüzeyi sınırsız sıkmamak önemlidir. Bu genellikle, bir yüzeyin kendi içinde ikiye katlandığında (örneğin zor bir şekilde ama mümkün olan) bir küre döndürmeye çalışıldığında olduğu gibi karşılaşılır.

Euler Karakteristiği

Sürekli deformasyon altında değişmeyen bir özellik örneği, bir nesnenin Euler karakteristik18 yaşındaki Leonhard Euler adını almıştır.inci-yıllık Alman matematikçi.

Bir nesnenin Euler karakteristiğini göstermek için, önce bir küre (veya bir insan kafası gibi bir küre ile homeomorfik bir nesne) alırız ve yüzeyi çokgenlerle döşeriz. Sonra, yüzlerin (kenarların) sayısını, kenarları (iki tarafın buluştuğu yerler) ve köşeleri (üç veya daha fazla tarafın buluştuğu yerler) sayıyoruz. Şimdi, yüzlerin (F) ve köşelerin (V) sayısını ekleyin ve kenar sayısını (E) çıkarın: F + V - E. Yüzeyi nasıl böldüğünüz önemli değil; Cevap her zaman aynı olacak: iki. Beş platonik katı (bir çeşit normal poligondan yapılan 3-D şekilleri) bir küreye homomorfik olduğundan, bunların hepsinin de iki Euler karakteristiği vardır.

Tüm platonik katılar iki kişilik bir Euler karakteristiğine sahiptir.

Tüm platonik katılar iki kişilik bir Euler karakteristiğine sahiptir.

Kredi: Robert J. Coolman

Bir kenar veya köşe eklemek için ne anlama geldiğini düşünürsek, Euler karakteristiğinin neden korunmuş olduğunu anlamış olabiliriz. İki köşe arasında bir kenar eklemek bir yüzü ikiye böler: Kenarlar bir artar, yüzler bir artar ve köşeler aynı kalır. Aynı şekilde, bir kenar boyunca bir köşe eklenmesi kenarı ikiye böler: Kenarlar bir artar, köşe noktaları bir artar ve yüzler aynı kalır.

Şimdi bir torusun yüzeyini döşeyin, F, V ve E sayısını sayın ve sıfırın bir Euler karakteristiğini elde edersiniz. İşte bir örnek:

Bir torus polyhedron örneği. Tüm toride olduğu gibi, Euler Karakteristiği (F + V - E) sıfırdır. Bu durumda F = 16, V = 16 ve E = 32.

Bir torus polyhedron örneği. Tüm toride olduğu gibi, Euler Karakteristiği (F + V - E) sıfırdır. Bu durumda F = 16, V = 16 ve E = 32.

Kredi: Robert J. Coolman

Bir çift torus ile Euler karakteristiği negatiftir; üçlü bir torus için, negatif dört. Her ek delik, Euler karakteristiğini iki ile azaltır.

Yönlendirilemeyen yüzeyler

Şimdiye kadar konuştuğumuz tüm şekillerin ortak bir yönü var. yönlendiirlebilen. Bu, dış yüzeyde yürüyen bir hatanın her zaman dışarıda kalacağı anlamına gelir; Aynı iç için de geçerli. Ayrıca orada yönlenemeyen Yüzeyde dolaşan bir hata anlamına gelen yüzeyler, her iki tarafta da bitebilir. Bunun en meşhur örneği Mobius şeridi (sıfır olan bir Euler karakteristiğine sahip, EC = 0).

Mobius şeridi, yönlendirilemeyen bir yüzeyin en basit örneğidir.

Mobius şeridi, yönlendirilemeyen bir yüzeyin en basit örneğidir.

Kredi: Esben Oxholm Shutterstock

"Mobius şeridinin her iki yüzü" gibi bir dil, kavramın tanıtımı için yararlı olsa da, herhangi bir yüzeyin 2-D olduğunu söyleyen bir topolojinin zihnine ters düşmektedir, ve bu da onun içinde yaşayan varlıklardır. Bu lens sayesinde, yüzeyde yaşayan bir 2-D hatasını düşünmek daha yararlıdır. Yönlendirilebilir bir yüzey için, sağ elle yazılmış hatalar ve soldaki hatalar vardır, fakat yönlendirilemeyen bir yüzey için, sağ ve sol elle yazılmış hatalar ayırt edilemez. Bu, Mobius şeridinin bir alanı temsil ettiğini ve mekanın şeklinden kaynaklanan özelliklere ilgi duyduğumuzu vurgular.

Temel çokgenler

Bu bakış açısı 2-D olan yüzeyler ile, topolojik uzayları onların açısından temsil etmek uygun olur. temel çokgenler. Bir temel poligonun 2-D yüzeyini 3-D nesnesine dönüştürmek için, yüzeyi karşılık gelen kenarlar oklarla gösterilen yönde birleştirecek şekilde gerdirin. Görülebileceği gibi, paralel kenarların birleştirilmesi bir silindir (EC = 0) yapar ve anti-paralel çizgileri birleştirmek bir Mobius şeridi yapar (EC = 0).

Silindir ve Mobius şeridinin temel çokgenleri.Harflerle etiketlenmiş kenarlar, oklarla gösterilen yönde birleştirilir. Kesikli kenarlar bağlantısız kalır.

Silindir ve Mobius şeridinin temel çokgenleri. Harflerle etiketlenmiş kenarlar, oklarla gösterilen yönde birleştirilir. Kesikli kenarlar bağlantısız kalır.

Kredi: Robert J. Coolman

Temel bir çokgenin sınırını belirleyen ve okuyan bir 2-D böceği, diğer sınırlara taşınır ve ok yönüne göre aynı şekilde yönlendirilir. Sıçanın aynı kaldığı veya dönüp dönmeyeceği, yüzeyin sırasıyla yönlendirilebilir veya yönlendirilemez olduğunu gösterir. 2 boyutlu bir hatanın noktalı bir sınırı geçmesine izin verilmez.

Bir Mobius şeridinin 2-D yüzeyinde dolaşan 2 boyutlu bir hata. Haritanın etrafını gezdikten sonra hatanın nasıl ters çevrildiğine dikkat edin. Sağ ve sol elle yazılmış hatalar arasında bir ayrım olmadığı için yüzey yönlendirilemez. Böcek noktalı kenarların üzerinde yürümeye izin verilmiyor.

Bir Mobius şeridinin 2-D yüzeyinde dolaşan 2 boyutlu bir hata. Haritanın etrafını gezdikten sonra hatanın nasıl ters çevrildiğine dikkat edin. Sağ ve sol elle yazılmış hatalar arasında bir ayrım olmadığı için yüzey yönlendirilemez. Böcek noktalı kenarların üzerinde yürümeye izin verilmiyor.

Kredi: Robert J. Coolman

Konuştuğumuz ilk şekillerin de çokgenleri var. Bir torç yapmak için, önce bir silindir yapın, sonra silindirlerin uçlarını yerine gelene kadar gerdirin. Bir küre yapmak için, köşeyi köşeden köşeye kıvırın ve üçgen bir zarf yapın, sonra küresel olana kadar şişirin.

Torus ve Sphere'in temel çokgenleri.

Torus ve Sphere'in temel çokgenleri.

Kredi: Robert J. Coolman

Bir Mobius şeridinin noktalı kenarları, iki daha fazla yönlendirilemeyen yüzeylere yol açmak için iki farklı şekilde birleştirilebilir: Bir Klein Şişesi (EC = 0), bir Mobius şeridi ve bir silindir arasında bir çapraz olarak düşünülebilir. çapraz kapaklı disk (EC = 1) iki Mobius şeridi arasındaki çapraz olarak düşünülebilir. Mobius şeridinde olduğu gibi, bu haritayı sarmak için üçüncü bir boyut varsa, alanın genel "şekli" nin bir perspektifini kazanabiliriz. Her iki yapı da yüzeyin kendi içinden geçmesine izin verilmesini gerektirir. Bir 2-D hata böyle bir kavşak fark etmeyecek; 2-D uzayda belli yolları aldıktan sonra dünya sadece "çevrilmiş".

Klein şişesinin ve çapraz kapaklı diskin temel çokgenleri. Çapraz kapaklı disk, iç kısmı ortaya çıkarmak için bir kenar boyunca açılmıştır.

Klein şişesinin ve çapraz kapaklı diskin temel çokgenleri. Çapraz kapaklı disk, iç kısmı ortaya çıkarmak için bir kenar boyunca açılmıştır.

Kredi: Robert J. Coolman

Topolojide ünlü sorunlar

Topoloji, sadece birkaç asırdır var olmuştur, ancak zaten her biri kendi hikayesi olan zengin bir sorun ve alt alan tarihine sahiptir.

  • Königsberg'in yedi köprüsü: Genellikle topolojide ilk sorun olarak kabul edilir. Eski Prusya kasabası Königsberg'de bir zamanlar yedi köprüye sahipti ve halkı her köprüyü sadece bir kez geçecek bir yolun yürümesinin mümkün olup olmadığını merak etti. 1735'te Euler böyle bir yolun imkansız olduğunu kanıtladı.
  • Palmiye ve Parmak Baskılarındaki Desenler: Parmak izlerinin hepsinin, ilmekler ve triradii (birlikte gelen üç çizgi) gibi ortak özellikleri vardır. İngiliz medikal bir genetikçi olan 1965 yılında Lionel Penrose, parmak izlerinin ve avuç izlerinin evrensel bir kurala uyduğunu belirtti: beş parmakla doğan herkesin her zaman döngüden dört tane daha triradii vardır.
  • Kıllı Top Teoremi: Saç kaplı bir küre (ya da küre) için tüm saçı düz bir şekilde taramak imkansızdır. Saçın düzleştiği en az bir yer olmalı.
  • Küre Eversiyonu: Kendinden geçmesine izin verilen küresel bir yüzey için, herhangi bir bölgeyi sınırsızca sıkmadan bir küre tamamen içe doğru çevirmek mümkün mü? Bu zor, ama evet.
  • Düğüm teorisi: Knot teorisi, topolojide sadece kendileri veya başkaları aracılığıyla geçemeyen tori (çoğul torus) ile ilgilenen bir disiplindir. Düğüm teorisinin ana odak noktası, iki farklı görünümlü düğümün homeomorfik olup olmadığını belirlemektir.
  • Poincaré Conjecture: Bu yazıda, sadece 2 boyutlu uzayları inceledik, ancak tuhaf şekillerde bağlanan 3-boyutlu alanlar da var. İlk olarak 1904'te ortaya çıkan Poincaré Conjecture, bu 3-boyutlu uzaylar hakkında, “her basit, kapalı 3-manifoldun 3-küreye homeomorfik olduğunu” belirtiyor. Yaklaşık bir yüzyıl sonra, 2000 yılında, Kil Matematik Enstitüsü, çözüme ulaşan herkese 1 milyon dolar verilebilecek yedi çözülmemiş “Millennium Prize” problemi seçti. Poincaré Conjecture, çözülmesi gereken ilk sorun oldu. 2002 yılında çözümü bulduğu Rus matematikçi Grigori Perelman, Millennium para ödülü ve Fields Madalyası'nı (birçok kişi tarafından Matematikte Nobel Ödülü'ne layık görülmüştür) reddetti.

Ek kaynaklar

  • Betelgeuse'dan Zogg: Hayır Kenar: Evrenin Şekli
  • Kraliyet Kurumu: Dört Boyutlu Matematik


Video Takviyesi: Topoloji Nedir? Topolojik Uzay Nedir? Topolojiye Örnek!.




Araştırma


Satürn Açıklaması
Satürn Açıklaması

Filmde Nadir 'Ateş Şeytan' Yakalandı
Filmde Nadir 'Ateş Şeytan' Yakalandı

Bilim Haberleri


Hamilton Othanel Smith
Hamilton Othanel Smith

Kasırga Riskleri: Şaşırtıcı Harita Vulnerable Alanları Gösterir
Kasırga Riskleri: Şaşırtıcı Harita Vulnerable Alanları Gösterir

Neden Jellyfish Güzelleşiyor: Şaşırtıcı Etkili Predators
Neden Jellyfish Güzelleşiyor: Şaşırtıcı Etkili Predators

Bir Atın Post Pozisyonu Kentucky Derbisini Kazanma Şansını Etkiler Mi?
Bir Atın Post Pozisyonu Kentucky Derbisini Kazanma Şansını Etkiler Mi?

Okyanusta Bulunan 'Sonic Boom' Meteoritlerinin Izleri
Okyanusta Bulunan 'Sonic Boom' Meteoritlerinin Izleri


TR.WordsSideKick.com
Her Hakkı Saklıdır!
Herhangi Bir Malzemenin Çoğaltılabilir Sadece Siteye Aktif Linki Prostanovkoy TR.WordsSideKick.com

© 2005–2019 TR.WordsSideKick.com